PROCEDIMENTOS

• Funções

  • Corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy

    • Nestas notas sistematizamos um procedimento de aplicação do corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy.
    • O propósito da aplicação do Teorema de Bolzano-Cauchy, ou do seu corolário,
      não é encontrar uma ou mais soluções para uma equação,
      é apenas mostrar que existe pelo menos uma solução para essa equação
      num certo intervalo (por exemplo: ]a;b[).
      • Para isso, há que cumprir 4, ou 5, etapas, dependendo da equação em causa (vd hipóteses A e B abaixo).
    • NOTA: As partes em itálico são de escrita, as restantes são explicativas.

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    • Etapa 1: Identificar a equação

      • Hipótese A: a equação é do tipo $h(x)=0$
      • Hipótese B: a equação é do tipo $f(x)=g(x)$, em que $g(x)\ne 0$

    • [Etapa 2 : Modificar a equação]

      (só no caso da Hipótese B)
      • $f(x)=g(x)\iff f(x)-g(x)=0$
      • seja $h(x)=f(x)-g(x)$
      • $h(x)=0$

    • Etapa 3: Continuidade

      • $h$ é contínua em $[a;b]$ (intervalo fechado) porque …escrever uma justificação… um exemplo de uma frase que pode ser muito conveniente, caso se aplique, o que é frequente acontecer, é: [porque] é resultado de operações entre funções contínuas em $[a;b]$ (intervalo fechado)

    • Etapa 4: h(a) x h(b)

      • Calcular $h(a)$ e $h(b)$
      • Verificar e/ou justificar que: $h(a)\times h(b)<0$

    • Etapa 5: Conclusão

      • Logo, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, $\exists c\in ]a;b[:h(c)=0$
      • e, no caso de se estar na Hipótese B, acrescentar: ou seja $f(c)-g(c)=0$ ou seja $f(c)=g(c)$

  • Monotonia e Extremos

    • Objetivo: estudar a monotonia e a existência de extremos de uma função, $f$.

    • Etapa 1: Expressão da derivada

      • Calcular a expressão da derivada de $f$, $f^{\prime }(x)$ , através das Regras de Derivação.
      • Verificar a derivada

    • Etapa 2: Zeros

      • Calcular os zeros da derivada: $f^{\prime }(x)=0$

    • Etapa 3: Quadro de sinais

      • Construir um quadro de sinais:
        • Linha 1:
          • i) domínio
          • ii) zeros da derivada (obviamente por ordem crescente)
        • Coluna 1:
          • [Polinómios da expressão de $f^{\prime }(x)$]
          • $f^{\prime }(x)$
          • $f$
      • Preencher o quadro de sinais:
        • Escrever em cada linha o sinal do polinómio ($+-0$)
        • Escrever o sinal de $f^{\prime }(x)$
        • Escrever na linha $f$:
          • se a derivada for positiva: $\nearrow$
          • se a derivada for negativa: $\searrow$
          • EXEMPLOS <<<<
          • se a derivada for 0:
            • se $\nearrow 0\searrow$ : escrever MAX
            • se $\searrow 0\nearrow$ : escrever min
            • se $\nearrow 0\nearrow$ ou $\searrow 0\searrow$ : escrever PI
      • Após preencher o quadro de sinais, Verificar a os Sinais f’(x)

    • Etapa 4: Conclusão

      • EXEMPLOS <<<<<<<
      • Escrever uma resposta final com:
        • A função $f$ é crescente em […] e em […]
        • A função $f$ é decrescente em […] e em […]
        • A função $f$ tem um máximo relativo em $x=$… e esse máximo é …
        • A função $f$ tem um mínimo relativo em $x=$… e esse mínimo é …

• Complexos

  • Forma Algébrica para Trigonométrica

    • Seja $z$ um número complexo escrito na forma algébrica
    • Identificar parte real (abcissa da imagem geométrica de $z$) e parte imaginária (ordenada da imagem geométrica de $z$)
    • Calcular $\frac{Im(z)}{Re(z)}$
      • Este quociente dá-nos a tangente de $\theta$
      • Se o resultado for um dos valores conhecidos: $\sqrt{3}-\sqrt{3}1-1\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$ , é viável escrever $z$ na forma trigonométrica
    • Calcular o módulo, $\rho$ : $|z|=\sqrt{Re(z{)}^2+Im(z{)}^2}$
    • Desenhar um referencial com o ponto $\left(Re(z);Im(z)\right)$ e traçar um segmento de reta a unir a origem do referencial e o ponto.
    • Ver qual é o quadrante em que se encontra o ponto (ex: 2º quadrante)
    • Escrever: $\tan \theta =\frac{Im(z)}{Re(z)}=\text{...}\wedge \theta \in ]\frac{\pi }{2};\pi [$ (caso seja o 2º quadrante como exemplificado no passo anterior) $\iff \theta =$ …
    • Escrever $z$ na forma trigonométrica.

  • Forma Trigonométrica para Algébrica

    • Seja $z$ um número complexo escrito na forma trigonométrica: $\rho e^{i\theta }$
    • Escrever: $\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )=\rho \cos \theta +i\rho \sin \theta =Re(z)+Im(z)i$

  • Determinar o Ângulo formado por 3 pontos no espaço

    • Sejam A , B e C três pontos no espaço definidos por coordenadas e seja $A\hat{B}C$ o ângulo a descobrir
    • Determinar as coordenadas dos três pontos
    • Calcular o Vetor $\overrightarrow{BA}$ e o $\overrightarrow{BC}$
    • Calcular a Norma de cada um dos vetores
    • Igualar as duas formas de fazer o produto escalar:
      • $\Vert \overrightarrow{BA}\Vert \times \Vert \overrightarrow{BC}\Vert \times \cos (A\hat{B}C)=\Delta x_{\overrightarrow{BA}}\Delta x_{\overrightarrow{BC}}+\Delta y_{\overrightarrow{BA}}\Delta y_{\overrightarrow{BC}}+\Delta z_{\overrightarrow{BA}}\Delta z_{\overrightarrow{BC}}$
    • Deduzir $\cos (A\hat{B}C)$ e o ângulo $A\hat{B}C$

• Geometria

  • Ângulos de um polígono regular

    • Ângulos externos e ângulos internos

      • Na figura 1
        • Heptágono: polígono regular de 7 lados
        • $\alpha$ é um dos 7 ângulos externos do polígono
          • $\alpha =\frac{2\pi }{7}$
        • $\beta$ é um dos 7 ângulos internos do polígono
          • $\beta =\pi -\alpha =\pi -\frac{2\pi }{7}=\frac{5\pi }{7}$

    • Ângulos ao centro

      • Na figura 2
        • Heptágono dividido em 7 triângulos iguais, e isósceles
        • $A\hat{C}B$ é um dos 7 ângulos ao centro do polígono. Designemo-lo $\alpha$
          • $\alpha =\frac{2\pi }{7}$
        • [ABC] é um dos 7 triângulos isósceles e $\delta$ é um dos dois ângulos iguais desse triângulo
          • $\delta$ é metade do ângulo interno do polígono, $\beta$
          • $\delta =\frac{\pi -\alpha }{2}=\frac{\pi -\frac{2\pi }{7}}{2}=\frac{5\pi }{14}$
          • $\beta =2\delta =\frac{5\pi }{7}$

    • Ângulos inscritos

      • Na figura 3
        • Heptágono inscrito numa circunferência de centro C
        • $D\hat{C}F$ é um ângulo ao centro, de arco $\stackrel{⌢}{\mathrm{DEF}}$
        • $D\hat{A}F$ é um ângulo inscrito na circunferência de centro em C (o seu vértice, A, é um ponto da circunferência)
          • O arco capaz de $D\hat{A}F$ é igualmente $\stackrel{⌢}{\mathrm{DEF}}$
          • Para o mesmo arco de circunferência, o ângulo inscrito é metade do ângulo ao centro
            • $D\hat{C}F=2\alpha$
            • Logo, $D\hat{A}F=\frac{D\hat{C}F}{2}=\frac{2\alpha }{2}=\alpha$

• Calculadora

  • Verificar Derivada

    • Função original: $f(x)=2x^3-4x$
      • Calcular a expressão da derivada, $f^{\prime }(x)$
      • Escrever na calculadora a expressão da derivada obtida
      • Escrever na calculadora a expressão de $f(x)$
    • Escrever na calculadora a expressão da derivada de $f$
      • 1. Em $Y3$, OPTN $⟶$ CALC $⟶$ d/dx
      • 2. $\frac{d}{dx}(...){|}_{x=...}$ preencher com a expressão original: $\frac{d}{dx}(Y1){|}_{x=x}$
    • Se a expressão da derivada obtida estiver correta, os gráficos $Y2$ e $Y3$ sobrepõem-se

  • Verificar a os Sinais f’(x)

    • Escrever a expressão da função derivada
    • Observar o gráfico e Verificar se os intervalos em que a derivada é positiva, negativa ou igual a zero, coincidem com os sinais do quadro.

  • Resolução de Equações Graficamente

    • Exemplo:
      • $f(x)=x^3-2x+5$
      • Existe um ponto no intervalo $[0;2]$ em que metade da sua ordenada é igual ao cubo da sua abcissa
        • Etapa 1 - Equacionar:
          • $\frac{1}{2}f(x)=x^3$ $\iff \frac{1}{2}(x^3-2x+5)=x^3$
        • Etapa 2 - Representar cada um dos membros da equação como uma função na calculadora:
          • $Y1=\frac{1}{2}(x^3-2x+5)$
          • $Y2=x^3$
        • Etapa 3 - Window
          • V-Window:
            • Xmin : 0
            • Xmax : 2
            • Definir Ymin e Ymax
        • Etapa 3 - Identificar a interseção:
          • G-Solv $⟶$ INTSECT
          • $x=1,328$ e $y=2.343$
        • Etapa 4 - Conclusão
          • Apresentar o valor com o número de casas decimais pedido.

  • V-Window: Xmin, Xmax, Ymin e Ymax

    • Depois de escrever as expressões de cada um dos membros da equação como uma função na calculadora:
      • $Y1=f(x)$
      • $Y2=g(x)$
    • Caso 1: o enunciado refere um intervalo de valores no qual resolver a equação (exemplo: nos 3 primeiros minutos) OU o domínio é um conjunto limitado (exemplo: $]0;3]$)
      • $Xmin$: $0$
      • $Xmax$: $3$
      • G-Solv $⟶$ INTSECT
        • Verificar a ordenada do ponto de interseção ($y_{intsect}$)
        • $Ymin$: um valor abaixo de $y_{intsect}$
        • $Ymax$: um valor acima de $y_{intsect}$
    • Caso 2: o enunciado não refere um intervalo no qual resolver a equação E o domínio, apesar de não ser $\mathbb{R}$, não é um conjunto limitado (exemplo: $x<2$)
      • $Xmin$: $-100$ ou $-1000$, por exemplo, ou seja um valor exagerado
      • $Xmax$: $2$
      • G-Solv $⟶$ INTSECT
        • Verificar as coordenadas do ponto de interseção ($x_{intsect}$ e $y_{intsect}$)
        • $Xmin$: um valor abaixo de $x_{intsect}$
        • $Ymin$: um valor abaixo de $y_{intsect}$
        • $Ymax$: um valor acima de $y_{intsect}$
    • Caso 3: o domínio é $\mathbb{R}$
      • $Xmin$: $-100$ ou $-1000$, por exemplo, ou seja um valor exagerado
      • $Xmax$: $100$ ou $1000$, por exemplo, ou seja um valor exagerado
      • G-Solv $⟶$ INTSECT
        • Verificar as coordenadas do ponto de interseção ($x_{intsect}$ e $y_{intsect}$)
        • $Xmin$: um valor abaixo de $x_{intsect}$
        • $Xmax$: um valor acima de $x_{intsect}$
        • $Ymin$: um valor abaixo de $y_{intsect}$
        • $Ymax$: um valor acima de $y_{intsect}$

  • Verificação de Complexos

• Plano tangente a uma superfície esférica/esfera

• Equações Exponenciais e logaritmos

• Reta tangente ao gráfico de uma função

  • Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função $f$ no ponto de abcissa $a$
    • Calcular a expressão da derivada: $f^{\prime }(x)$
    • Calcular a derivada no ponto: $f^{\prime }(a)$
    • Escrever $m=f^{\prime }(a)$
    • Escrever $y=mx+b$
    • Calcular $f(a)$
    • Escrever $f(a)=m\times a+b$
    • Deduzir $b$
    • Apresentar a equação da reta

• Trigonometria: figura e coordenadas polares